抽象代数Galois理论

域扩张的 Galois 群与 Galois 扩张#

1 定义#

自同构群：设 $E$ 是一个域，$E$ 的全体自同构的集合在变换的合成下构成一个群，称其为 $E$ 的自同构群，记为 $\operatorname{Aut}(E)$

Galois 群：设 $E$ 是域 $F$ 的一个扩张，$E$ 的所有 $F$ -自同构的集合 $Gal(E/F) := \{ \sigma \in \operatorname{Aut}(E) \mid \sigma |_F = \operatorname{id}_F \}$ 构成 $\operatorname{Aut}(E)$ 的一个子群，称为 $E$ 在 $F$ 上的 Galois 群。

不动元：设 $G\le \operatorname{Aut}(E)$，$\alpha \in E$，若对 $\forall \sigma \in G$，都有 $\sigma(\alpha)=\alpha$，则称 $\alpha$ 为 $G$ 的不动元。$E$ 的所有 $G$ 的不动元集合

$$\operatorname{Inv}(G) := \{ \alpha \in E \mid \forall \sigma \in G, \sigma(\alpha)=\alpha \}$$

构成 $E$ 的一个子域，称为 $G$ 的不动域。

Galois 扩张：设 $E$ 是域 $F$ 的扩张，如果 $\operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E/F))=F$，就称 $E$ 是 $F$ 的 Galois 扩张。

共轭：设 $E$ 是 $F$ 的 Galois 扩张，$L$ 是中间域，对 $\forall \sigma \in \operatorname{Gal}(E/F)$，称 $\sigma(L)$ 为 $L$ 的共轭。

Galois 对应：Galois 基本定理定义的一一对应 $L \leftrightarrow \operatorname{Gal}(E/L)$ 和 $H \leftrightarrow \operatorname{Inv}(H)$ 也称为 Galois 对应

2 定理#

命题 1.1.1：设 $L_{1},L_{2}$ 是域 $E$ 的子域，$H_{1},H_{2}$ 是 $\operatorname{Aut}(E)$ 的子群，则有

$$\begin{align} L_{1}\subset L_{2} &\Rightarrow \operatorname{Gal}(E/L_{2}) \subset\operatorname{Gal}(E/L_{1}) \\ H_{1} \subset H_{2} &\Rightarrow \operatorname{Inv}(H_{2}) \subset \operatorname{Inv}(H_{1}) \end{align}$$

定理 1.1.1：设 $E$ 和 $L$ 是 $F$ 的扩张且 ${E:F}$ 有限，则从 $E$ 到 $L$ 互不相同的 $F-$ 同态个数不超过 $[E:F]$。特别地，

$$|Gal(E/F)| \leq [E:F]$$

定理 1.1.2：设 $E$ 为 $F$ 的有限次扩张，则下列陈述等价： (i) $E$ 是 $F$ 的 Galois 扩张； (ii) $E$ 是 $F$ 的可分正规扩张； (iii) $E$ 是 $F$ 上一个可分多项式的分裂域； (iv) $|\text{Gal}(E/F)| = [E : F]$。

定理 1.1.3（Artin 引理）：设 $E$ 是域，$G$ 是 $\operatorname{Aut}(E)$ 的有限子群，$F=\operatorname{Inv}(G)$，则

$$[E:F] \le |G|$$

定理 1.1.4（Galois 基本定理）：设 $E$ 是域 $F$ 的一个有限 Galois 扩张，$G = \operatorname{Gal}(E/F)$，记

$$\mathcal{H} = \{ H \mid H \le G \}, \quad \mathcal{L} = \{ L \mid F \subseteq L \subseteq E \}$$

则

$$\operatorname{Gal}:\mathcal{L} \to \mathcal{H}, \quad L \mapsto \operatorname{Gal}(E/L)$$

和

$$\operatorname{Inv}:\mathcal{H} \to \mathcal{L}, \quad H \mapsto \operatorname{Inv}(H)$$

是映射，且满足：

(i) Gal 和 Inv 互为逆映射，因而都是双射。 (ii) 上述双射是反包含的，即当子群 $H_1, H_2$ 分别与中间域 $L_1, L_2$ 对应时， $H_1 \supseteq H_2 \Leftrightarrow L_1 \subseteq L_2.$ 下面设子群 $H$ 与中间域 $L$ 对应，即 $H = \text{Gal}(E/L)$ 或者 $L = \text{Inv}(H)$。 (iii) $[E : L] = |H|, [L : F] = [G : H]$。 (iv) 任取 $\sigma \in G$, $H$ 的共轭子群 $\sigma H \sigma^{-1}$ 与 $L$ 的共轭 $\sigma (L)$ 对应。 (v) $H \unlhd G$ 当且仅当 $L$ 是 $F$ 的 Galois 扩张，这时 $\text{Gal}(L/F) \cong G/H$。

定理 1.1.5（代数基本定理）：复数域 $\mathbb{C}$ 是代数封闭域

多项式的 Galois 群#

1 定义#

多项式的 Galois 群：设 $f(x)$ 是域 $F$ 上没有重根的多项式，称 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 限制到 $f(x)$ 的根集 $X$ 上所得到的群 $G_{f}$ 为多项式 $f(x)$ 的 Galois 群

交换扩张与循环扩张：设 $E$ 是域 $F$ 的 Galois 扩张，如果 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 为交换群，就称 $E/F$ 为交换扩张或者 Abel 扩张；如果 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 为循环群，就称 $E/F$ 为循环扩张。

判别式：设 $f(x)\in F[x]$，$\deg f(x)\ge 1$，$f(x)$ 在其分裂域中的根为 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots ,\alpha _{n}$，则称

$$D_{f}=a^{2n-2} \prod_{1\le i<j \le n}(\alpha_{i}-\alpha_{j})^{2}$$

其中 $a$ 为 $f(x)$ 的首项系数，称为 $f(x)$ 的判别式。

2 定理#

命题 1.2.1：设 $F$ 是域 $\mathbb{Q}(\zeta _{n})$ 的扩域，其中 $\zeta _{n}$ 是一个 $n$ 次本院单位根，

定理 1.2.1：设 $f(x)$ 是域 $F$ 上没有重根的多项式，$E$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域，$f(x)$ 在 $E[x]$ 上有分解式

$$f(x)=a \prod_{i=1}^{n}(x-\alpha_{i})$$

其中 $a\in F$ 为 $f(x)$ 的首项系数，则 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 同构于 $f(x)$ 的根 $\{\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\}$ 的一个置换群 $G_{f}$

定理 1.2.2：设 $f(x)$ 是域 $F$ 上没有重根的多项式，则 $f(x)$ 在 $F$ 上不可约当且仅当 $G_{f}$ 在 $f(x)$ 的根集上的作用传递

定理 1.2.3：设域 $F$ 的特征不为 2，$f(x)\in F[x]$，$\deg f(x)=n\ge 1$，且 $f(x)$ 没有重根，则 $G_{f}$ 中的每个元素都是 $f(x)$ 的根集 $X = \{ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots \alpha _{n} \}$ 上的偶置换当且仅当 $\sqrt{\Delta} \in F$，其中 $\Delta$ 是 $f(x)$ 的判别式

定理 1.2.4：设域 $F$ 的特征不为 2, $f(x)$ 是 $F$ 上的 4 次不可约多项式, $E$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域. 令 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的预解式, $L$ 是 $g(x)$ 在 $F$ 上的分裂域, $m = [L : F]$.

(i) 若 $g(x)$ 在 $F$ 上不可约且 $D_f \notin F^{*2}$, 则 $m = 6, G_f \cong S_4$.

(ii) 若 $g(x)$ 在 $F$ 上不可约且 $D_f \in F^{*2}$, 则 $m = 3, G_f \cong A_4$.

(iii) 若 $g(x)$ 在 $F[x]$ 中有一个 2 次不可约因式, 且 $f(x)$ 在 $L$ 上不可约, 则 $m = 2, G_f \cong D_4$. (iv) 若 $g(x)$ 在 $F[x]$ 中有一个 2 次不可约因式, 且 $f(x)$ 在 $L$ 上可约, 则 $m = 2, G_f \cong \mathbb{Z}_4$.

(v) 若 $g(x)$ 在 $F[x]$ 中分解为一次因式的乘积，则 $m = 1, G_f \cong V_4$.

定理 1.2.5：设 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 是域 $K$ 上的无关未定元，$s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}$ 是关于 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的初等对称多项式，令 $F = K(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})$ 以及

$$f(x)=\prod_{i=1}^{n}(x-x_{i}) =x^{n}-s_{1}x^{n-1}+\cdots+(-1)^{n}s_{n}\in F[x]$$

定理 1.2.6：设 $p$ 为素数，$f(x)$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的 $p$ 次不可约多项式，如果 $f(x)$ 在 $\mathbb{C}$ 中恰有两个非实数复根，那么 $G_{f}\cong S_{p}$

定理 1.2.7：设 $f(x) \in F[x]$ 是不可约多项式，$E$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域，$\alpha$ 是 $f(x)$ 在 $E$ 中的一个根，则 $f(x)$ 的所有根都形如 $\sigma(\alpha)$，其中 $\sigma \in \operatorname{Gal}(E/F)$

方程式的根式解#

1 定义#

单根式扩张：设 $E=f(\alpha)$ 是域 $F$ 的一个单扩张，如果存在正整数 $n$ 使得 $\alpha^{n}\in F$，就称 $E$ 为 $F$ 的一个单根式扩张 根式扩张：设 $E/F$ 是有限次扩张，若存在一个域的扩张链

$$F = F_0 \subseteq F_1 \subseteq \cdots \subseteq F_{s-1} \subseteq F_s = E,$$

使得对于每个 $1 \leq i \leq s$, $F_i$ 是 $F_{i-1}$ 的单根式扩张，即存在 $\alpha_i \in F_i$ 和正整数 $n_i$ 使得

$$F_i = F_{i-1}(\alpha_i)$$

且 $\alpha_i^{n_i} \in F_{i-1}$，则称 $E$ 为 $F$ 的一个根式扩张，而如上域的扩张链 (1.9) 叫做根式扩张 $E/F$ 的一个根式扩张链。

根式可解：设 $F$ 是域，$f(x)\in F[x]$，如果存在 $F$ 的一个根式扩张包含 $f(x)$ 在 $F$ 上的一个分裂域，那么就称代数方程 $f(x)=0$ 在 $F$ 上根式可解或有根式解

2 定理#

命题 1.3.1（Lagrange 预解式）：设 $F$ 是特征为 $0$ 的域，$p$ 是素数，且 $F$ 包含一个 $p$ 次本原单位根 $\zeta_{p}$，那么 $F$ 的任意 $p$ 次循环扩张 $E$ 都是单根式扩张

引理 1.3.1：设 $E$ 是 $F$ 的有限可分扩张，$\tilde{E}$ 是 $E/F$ 的正规闭包，如果 $E/F$ 是根式扩张，那么 $\tilde{E}/F$ 也是根式扩张 定理 1.3.1：设 $F$ 是特征为 $0$ 的域，$f(x)\in F[x]$。如果 $f(x)=0$ 在 $F$ 上根式可解，那么 $f(x)$ 在 $F$ 上的 Galois 群 $G_{f}$ 是可解群。

定理 1.3.2：设 $F$ 是特征为 $0$ 的域，$f(x)\in F[x]$，如果 $f(x)$ 在 $F$ 上的 Galois 群 $G_{f}$ 可解，那么方程 $f(x)=0$ 在 $F$ 上根式可解 推论 1.3.1：设 $F$ 是特征为 $0$ 的域，$f(x)\in F[x]$，如果 $\deg f(x)\le 4$，那么方程 $f(x)=0$ 在 $F$ 上根式可解