数学分析解题技巧

来自老王的解题建议#

• 首先理解题目在说什么，表达了什么 insight，然后再做题而不是直接用套路

实数系基本定理#

1 稠密性证明#

1.1 用到 $\frac{1}{N}$ 的证明#

尝试构造 $N+1$ 个数落在 $(0, 1)$ 之间，这时这 $N+1$ 个数中一定有两个数的差小于 $\frac{1}{N}$

1.1.1 形式是 $px+q(p, q\in \mathbb{Z})$#

可以构造形如 $mx - [mx](m\in\mathbb{Z})$ 的数

1.2 稠密的一个充分条件#

• 若单调递增数列 $\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$ 满足则对任何 $T> 0, S_n$ mod $T$ 在 $[0,T]$ 中稠密. 且 $\lim_{n\to\infty}S_{n}=+\infty,\quad\lim_{n\to\infty}(S_{n+1}-S_{n})=0$，则对任何 T >0, $S_n modT$ 在[0,T]中稠密.

2 形如 $x_{n+m} = f(x_n, x_m)$ 的极限问题#

• 首先考虑倍数关系，即找出 $x_{kn}$ 和 $x_{n}$ 的代数关系
• 再考虑 $n=qm+r$ 即给定 $m$，再考虑让 $q$ 趋于无穷大

3 极限点问题#

• 一个由极限点构成的集合，其极限点必然是它的一个元素
• 所以不存在 $\{\frac12,\frac13,\cdots,\frac1n\}$ 这样一个由极限点构成的集合，因为 0 是它的一个极限点

4 可列问题#

对于可列问题，考虑构造集合 $E_n$，使得每个集合中的元素为可列个，从而得到

$$E=\underset{n=1}{\bigcup^{\infty}}E_n$$

中元素个数为可列个

5 势的比较#

• 区间内有理数的势小于实数的势
• 像空间的势小于原空间的势

数列极限#

1 有限项和一定，求内积极限（形如求 $lim_{n\to \infty} \sum a_ib_i,s.t.\sum a_i = s$ )#

• 取某一项，不妨取 $a_0=s-\sum_{i = 1}a_i$ 带入原式
• 得到新的内积形式 $sb_0+\sum_{n=1}(b_i-b_0)a_i$ (阿贝尔引理)
• 再逐项分析极限，或者考虑求和的极限

2 底数和指数都很复杂的式子的极限#

无脑取对数，然后再利用Stolz定理等得出答案

3 含有不等式的迭代数列的极限#

• 先证明单调性和有界性
• 再利用不等式条件，和极限等式得到的基本不等式，得到等式

3.1 一个特别的迭代数列#

• 形如 $a\leq x_{n+1} + u_i\leq x_n$ 的迭代不等式。其中，$u_i$ 为收敛级数的一项
• 利用 $u_i = S_i - S_{i+1}$ 可以得到 $x_{n+1} + S_i\leq x_n + S_{i+1}$
• 得到 $x_{n+1}-S_n$ 收敛

4 对于两个迭代数列的极限#

4.1 方法一#

• 首先找到每个数列的单调性
• 利用归纳法或其他方法构造交叉形式

4.2 方法二#

• 利用压缩映照原理先得到各自的极限 $a, b$
• 利用 $|a_n - a| = f(|b_{n-1} - b|)$ 和 $|b_n - b|= g(|a_{n-1} - a|)$ 得到 $|a_n-a|$ 和 $|b_n-b|$ 的迭代关系

5 一个比较好用的级数估计#

$$\begin{gathered} \quad\text{设两数}f(x),\mathrm{g}(x)\text{在0的某个邻域里有定义 }\mathrm{g}(x)>0,\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1;\\\text{且}n\to\infty\text{时} \alpha_{mn}\rightarrow\rightarrow0\left(m=1,2,\cdots,n\right),\\\text{亦即 }\forall\varepsilon>0,\exists N\left(\varepsilon\right)>0,\text{当 }n>N\left(\varepsilon\right)\text{时},\text{对一切 }m=1,2,\cdots,n,\text{有} \mid\alpha_{_{mn}}\mid<\varepsilon;\\\text{另设 }\alpha_{_{mn}}\neq0\text{则} \lim_{n\to\infty}\sum_{m=1}^{n}f(\alpha_{mn})=\lim_{n\to\infty}\sum_{m=1}^{n}g(\alpha_{mn}),\quad(1) \\ \text{当右端极限存在时成立}. \end{gathered}$$

6 欧拉常数 $\gamma$#

• $\gamma = \lim_{n\to\infty}\sum^n_{i=1}\frac{1}{i} - \ln n$
• 可以利用欧拉常数对级数进行估计$\ln n\leqslant1+\frac12+\cdots+\frac1n\leqslant\ln n+1$

7 利用上下极限#

7.1 出现形如 $Aa_n + B a_{n+1} = b_n(\lim_{n\to\infty}b_n\exists)$ 的表达式#

将原式改写为 $a_n = b_n- Ca_{n+1}$ 的形式，然后两边分别取上下极限，然后解方程

连续性#

1 证明函数连续的办法#

• 利用定义
• 利用左右极限
• 利用序列语言
• 利用邻域语言
• 利用四则运算

2 连续函数的介值性给出了和集合开闭有关的信息#

2.1 具有介值性且函数值为任一有理数的自变量集合为闭集的函数连续#

2.2 开区间上具有介值性的单射严格单调且连续#

2.3 连续<=>开集的逆像仍然是开集（拓扑性质）#

3 数列的单调性证明#

证明数列单调可以先证明单射然后证明如果存在不单调则与单射矛盾

4 区间$[0, n]$上的连续问题#

• 找到可以打起“绳结”的点打结，退化为$[0, n-1]$上的连续问题
• 利用归纳法，得证

5 不动点问题#

5.1 涉及复合函数的连续问题，求解满足条件的函数形式（形如$f(g(x))=h(x)$，其中，$g(x)=F_1(f(x)),h(x)=F_2(f(x))$）#

• 先证明单调性
• 先猜测出 $f(x)$ 的形式，常见的是 $f(x)=x$，再由单调性和函数的收敛等性质证明，不存在 $f(x)\neq x$ 的点，其中，可以构造数列 $x_{n+1} = f(x_n)$ 方便证明矛盾

5.2 单调但不连续函数的不动点（零点）问题#

• 利用确界存在定理，得到单调区间的上确界，即假设 $x_0=\sup\{x\in[a,b]\mid f(x)>x\}$
• 对于 $x_0$ 处的函数值进行分析，利用单调性和确界的性质（还有函数连续性）证明该点不能不符合不动点（零点）的性质

5.3 加强形式的闭区间上不动点定理#

• $f$ 是 $[a,b]\to[a,b]$ 上的连续函数，若有 $x_{n+1}=f(x_n),\forall n \in \mathbb{N}$，则 $\{x_n\}$ 收敛<=> $\lim_{n\to\infty}(x_{n+1} - x_n) = 0$

6 对于 $\lim_{n\to\infty}f(x_n,x_{kn})=a$ 的问题#

• 分别对该极限取上下极限，从而得到包含 $x_n$ 和 $x_{kn}$ 的上下极限不等式
• 利用如下关系得到不等式组

$$\begin{aligned} \lim_{\overline{n\rightarrow\infty}}x_{n}+\lim_{\overline{n\rightarrow\infty}}y_{n}& \leqslant\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}(x_{n}+y_{n}) \\ &\leqslant\lim_{\overline{n\rightarrow\infty}}x_{n}+\underset{{n\rightarrow\infty}}{\overline{\operatorname*{lim}}}y_{n} \\ &\leqslant\underset{{n\rightarrow\infty}}{\overline{\operatorname*{lim}}}(x_n+y_{n}) \\ &\leqslant\underset{{n\rightarrow\infty}}{\overline{\operatorname*{lim}}}x_{n}+\underset{{n\rightarrow\infty}}{\overline{\operatorname*{lim}}}y_{n}, \end{aligned}$$ $$\forall M,\exists x_0,\forall x >x_0,f(x)>M$$

7 有界变差数列#

8 无穷远处的连续性和函数极限的关系#

• 柯西收敛准则可以沟通无穷远处函数极限的存在性和函数的连续性因为都可以用到 $|f(x) - f(y)|\leq \epsilon$

导数#

1 无穷小增量公式#

对于某点导数存在的情况，可以将导数的表达式改写为无穷小增量公式

$$\Delta y = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x)$$

1.1 另一个形式#

$$cdx\begin{aligned} \Delta y = f'(x_0)\Delta x + \omega(x)\Delta x\\ where\quad\lim_{x\to x_0}\omega(x)=\omega(x_0)=0 \end{aligned}$$

2 无限可微的函数（不包括常数函数）#

$$g(x)=\begin{cases}0,&x=0,\\\mathrm{e}^{-\frac1{x^2}},&x\ne0,&\end{cases}$$

中值定理#

1 形如 $f^{(n)}(x) = 0$ 有 n 个不同的根#

先证明端点处 0~n-1 阶导全都为零，然后对每一阶导数运用 Rolle 定理

2 使用 Cauchy 中值定理#

• 注意是否满足前提条件
• 如果不确定，最好使用 Rolle 定理进行证明

函数的凹凸性#

1 开区间上的凸函数必定连续#

![[凸性必有连续性的几何证明.png|90]]

• 也可以根据凸函数任一点左右导数的存在性（左右导函数单调且有界）证明函数的连续性

定积分#

1 可积性问题#

1.1 定积分取值的多重性#

一方面，定积分可以由其介值点集的任意选取同时具有多重性质 另一方面，定积分的取值又被达布大和和达布小和控制，具体表现为：

• 达布大和为介值点统统选函数值大的点
• 达布大和为介值点统统选函数值小的点
• 达布大和=达布小和

2 定积分的性质#

2.1 Taylor 积分余项的一阶形式#

$$R_0(x)=\int_{x_0}^{x}f'(t)\mathrm{d}t$$

2.2 积分的极限证明#

对于极限不为零的式子，可以考虑将常数移项从而利用其他性质求解

2.3 牛莱公式的使用条件#

使用 $Newton-Leibniz$ 公式时必须验证是否满足条件：被积函数 $f$ 在积分区间上连续

广义积分#

1 敛散性判别法#

1.1 构造收敛数列（利用 Abel 判别法和 Dirichlet 判别法的形式）#

1.1.1 Abel 判别法的形式#

定义

$$\begin{aligned} u(x)&=\begin{cases} 1 & a\leq x\leq A_1\\ \frac1n&A_n<x\leq A_{n+1}\end{cases}\\ v(x)&=\frac{f(x)}{u(x)} \end{aligned}$$

1.1.2 Dirichlet 的形式#

$$\begin{aligned} u_1 = \sqrt{u},v_1 = \sqrt{uv}\end{aligned}$$

其中 $u$ 和 $v$ 是 Abel 中的形式

1.2 涉及三角函数的条件收敛和绝对收敛的判断#

涉及三角函数 $\sin x$ 和 $\cos x$ 等的级数判断时，善用

$$|\frac{\sin x}{f(x)}|\geq |\frac{\sin^2 x}{f(x)}|=|\frac{1}{2f(x)}|-|\frac{\cos 2x}{2f(x)}|$$

常用的反例#

1 只有连续#

• 类似于黎曼函数和迪利克雷函数
• 特别地，对于有限个点处连续的函数，可以构造形如 $f(x) = P(x_1,\cdots,x_n)D(x)$ 其中 $P(x_1,\cdots,x_n)$ 为以 $x_1,\cdots ,x_n$ 为解的多项式

2 可导和连续#

$$\begin{aligned} &f (x) = x\sin\frac {1}{x}\\ &f (x) = x^2\sin\frac {1}{x} \end{aligned}$$

振幅在震荡

3 导数和单调性#

3.1 在一点导数不为零但是没有充分小邻域单调#

$$f(x)=\begin{cases}x+2x^2\sin\frac{1}{x},&x\ne0,\\0,&x=0,\end{cases}$$

在 $x=0$ 处导数等于 1 但是 0 附近不单调

3.2 极值点一侧邻近也不一定具有单调性#

$$f(x)=\begin{cases}0,&x=0,\\-x^2\left(2+\sin\frac{1}x\right),&x\neq0,\end{cases}$$

在零处达到极值点，但是两侧都不单调

4 可积性问题#

4.1 函数的复合导致可积性的改变#

多考虑特殊的函数如 $sgn(x),R(x), D(x)$

4.2 零附近的可积函数的性质#

设 $f\in R[a, b]$，且 $\int_a^bf(x)\mathrm{d}x>0$，则有子区间 $[c, d]$ 和 $\mu>0$，使得 $f(x)\geq\mu, \forall x\in [c,d]$