高等代数解题技巧

1 所有元素代数余子式的和#

利用例9，考虑构造

$$|A(t)|=|A|+t\sum_i\sum_j A_{ij}$$

记得考虑 $A = A(t)(-t)$ 以简化运算

2 三对角线行列式#

若给定

$$\left.D_n=c^n\left|\begin{array}{ccccccccc}\frac{a}{c}&\frac{b}{c}&0&0&\cdots&0&0&0\\\\1&\frac{a}{c}&\frac{b}{c}&0&\cdots&0&0&0\\\\0&1&\frac{a}{c}&\frac{b}{c}&\cdots&0&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\\0&0&0&0&\cdots&1&\frac{a}{c}&\frac{b}{c}\\\\0&0&0&0&\cdots&0&1&\frac{a}{c}\end{array}\right.\right|.$$

可得出

$$\begin{gathered} \text{令 }\alpha+\beta=\frac ac,\alpha\beta=\frac bc\text{,则 }\alpha,\beta\text{ 是方程} \\ x^{2}-\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}=0 \\ \text{的两个根:}\alpha=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c}+\frac{1}{c}\sqrt{a^{2}-4bc}\right),\beta=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c}-\frac{1}{c}\sqrt{a^{2}-4bc}\right)。 \end{gathered}$$

进一步可以得到

$$D_n=\begin{cases}\frac{\alpha_1^{n+1}-\beta_1^{n+1}}{\alpha_1-\beta_1},&\quad\text{当}a^2\neq4bc,\\[2ex](n+1)\frac{a^n}{2^n},&\quad\text{当}a^2=4bc,\end{cases}$$

3 证明线性相关性相同#

1 行列式推导#

对于列向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 和列向量组 $\beta_1, \beta_2,\cdots ,\beta_n$，其中，每个向量都是 n 维的，可以证明其所对应的矩阵 $A$ 和 $B$ 存在线性映射关系 $A= CB$ 其中，$C$ 满秩

2 证明秩相等（特别地）#

• 欲证明 $rank(A) = rank(B)$，可以先证明 A 和 B 可以互相线性表出
  • 而不等关系只需证明单方向线性表出即可
• 也可以通过解空间相同，利用解空间的维数关系得出

4 主对角占优矩阵#

对于拥有类似于主对角占优矩阵类似性质的非方阵矩阵，可以将矩阵扩充成方阵再进行推理。

5 循环矩阵#

• n 级矩阵 A 是循环矩阵的充分必要条件是可以写成：

$$A=a_1I+a_2C+a_3C^2+\cdots+a_nC^{n-1}$$

• 其中，C 为 n 级循环移位矩阵

$$\left.C=\left(\begin{array}{ccccccc}0&1&0&0&\cdots&0&0\\0&0&1&0&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&\cdots&0&1\\1&0&0&0&\cdots&0&0\end{array}\right.\right)_{n\times n}$$

• 循环位移矩阵形成的线性空间的基就是 $I,C,C^2,\cdots, C^{n-1}$

6 Binet-Cauchy公式😱#

$$A=\left(a_{ij}\right)_{s\times n},B=\left(b_{ij}\right)_{n\times s}$$ $$\begin{aligned}&\text{(1)如果 }s>n,\text{那么}\mid AB\mid=0;\\&\text{(2)如果 }s\leqslant n,\text{那么}\mid AB\mid\text{等于 }A\text{ 的所有 }s\text{ 阶子式与 }B\text{ 的相应s 阶子式的乘积之和,即}\\&\mid AB\mid=\sum_{1\leqslant v_1\leq v_2<\cdots<v_j\leq n}A\begin{pmatrix}1,2,\cdots,s\\v_1,v_2,\cdots,v_s\end{pmatrix}\cdot B\begin{pmatrix}v_1,v_2,\cdots,v_s\\1,2,\cdots,s\end{pmatrix}.\end{aligned}$$

除此之外，常见的特殊情况有

$$\begin{gathered} AA^{\prime}{\binom{\imath_{1},\imath_{2},\cdots,\imath_{r}}{i_{1},i_{2},\cdots,i_{r}}} =\sum_{1\leqslant v_{1}<v_{2}<\cdots<v_{r}\leqslant n}A\binom{\iota_{1},\iota_{2},\cdots,\iota_{r}}{v_{1},v_{2},\cdots,v_{r}}A^{\prime}\binom{v_{1},v_{2},\cdots,v_{r}}{i_{1},i_{2},\cdots,i_{r}} \\ =\sum_{1\leqslant v_1<v_2<\cdots<v_r\leqslant n}\bigg[A{\binom{i_1,i_2,\cdots,i_r}{v_1,v_2,\cdots,v_r}}\bigg]^{2} \end{gathered}$$

7 秩的加法运算#

对于如果存在秩的加法运算 $rank (A) + rank(B) =？$，考虑构造分块矩阵如下再进行初等行列变换

$$\mathrm{rank}\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}=\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)$$

如需证明不等关系，可能还会用到如下不等式

$$\mathrm{rank}\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}\geqslant\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B).$$

8 n级矩阵的分解问题#

• 利用归纳证明法
• 利用分块矩阵的初等行变换

9 常见的矩阵求逆方法#

1 解方程法#

求 $A^{-1}$ 即相当于求解 $AX=I$ 的解，可以将 $I$ 视作列向量组，对于每一个列向量分别求解，再组合起来

2 初等变换法#

• 对于分块矩阵 $A$，可以先使用初等变换得到分块对角矩阵 $B$，即 $PAQ = B$
• 然后再两边求逆，得到 $A = PBQ$

3 凑矩阵法#

Sherman-Morrison-Woodbury 公式：$A+UV^{\mathrm{T}}$ 可逆当且仅当 $E_{n}+V^{\mathrm{T}}A^{-1}U$ 可逆，且

$$(A+UV^{\mathrm{T}})^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(E_{n}+V^{\mathrm{T}}A^{-1}U)^{-1}V^{\mathrm{T}}A^{-1}.$$

10 行列式求解技巧#

1 利用 $|I-AB|$ 的性质#

根据

$$|I_n-AB|=|I_s-BA|$$

其中，$A = (a_{ij})_{n*s},B = (B_{ij})_{s*n}$ 尝试构造

$$|diag\{\lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n\}-A_{s*n}B_{n*s}|$$

常见的情况是 A 和 B 为行列向量

2 利用行列式的分解#

对于某些形式比较类似的行列式，比如 $\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}$ 和 $\begin{vmatrix}A&B\\C&E\end{vmatrix}$ 可以写成

$$\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&B\\C&E\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}A&0\\C&D-E\end{vmatrix}$$

3 利用 $A(t)$ 的性质#

• 先构造出 $A(t) = |A + tJ|$ 的形式
• 不难发现 $A(t)$ 是 t 的一次多项式：$A(t) = ct + D$
• 带入两个特殊值得到二元一次方程组

$$\left\{ \begin{aligned} A(\alpha ) &= c\alpha + D\\ A(\beta ) &= c\beta + D \end{aligned} \right.$$

• 由方程组解出 D，即 $A(0)$

11 施密特正交化对矩阵进行分解#

利用施密特正交化，可以得到

$$\begin{aligned} &a_1 =\beta_1, \\ &a_2 =\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1+\beta_2, \\ &··· \\ &a_n =\sum_{j=1}^{n-1}\frac{(\alpha_n,\beta_j)}{(\beta_j,\beta_j)}\beta_j+\beta_n. \end{aligned}$$

记

$$b_{ji}=\frac{(\alpha_{i},\beta_{j})}{(\beta_{j},\beta_{j})},\quad i=2,3,\cdots,n;\quad j=1,2,\cdots,i-1.$$

再对每个 $\beta_i$ 单位化

$$\eta_i=\frac1{\mid\beta_i\mid}\beta_i,\quad i=1,2,\cdots,n.$$

则

$$\begin{aligned} A&=(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}) \\ &\left.=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)\left|\begin{array}{cccc}1&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\0&1&\cdots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{array}\right.\right|\\ &=\left.(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)\left[\begin{array}{cccc}|\beta_1|&0&\cdots&0\\0&|\beta_2|&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&|\beta_n|\end{array}\right.\right] \end{aligned}$$

12 正交投影的证明#

• 先证明变换后得到向量在对应的子空间中
• 再证明变换后得到的向量与原向量的差和子空间正交

13 解的存在问题#

• 欲证明一个方程有解，只需证明该方程的系数矩阵和增广矩阵秩相等
• 再利用秩不等式寻找出秩之间的相等或者不等关系

1 形如 $ABX=A$ 的方程#

• 解存在的充分必要条件是 $rank(AB)=rank(A)$
• 特别地，当 $rank(A^2)=rank(A)$ 时，$A^2X=A$ 有解

14 不同数域上的矩阵#

• 对于定义在不同数域上的矩阵，有其对应的性质
  • 定义在整数数域上的矩阵，其各种运算只能得到整数，迹、方阵行列式等均为整数
  • 定义在实数域上的矩阵，其各种运算的结果的平方只能是非负数，如迹，方阵行列式
  • 定义在复数域上的矩阵，可以先将其分解为实部和虚部，然后分别当作实数域上的矩阵进行操作

15 行列式互为相反数#

• 对于行列式之和为 0 的两个矩阵 $|A|+|B|=0$，可以改写成 $|A|=-|B|$
• 然后再用所求矩阵左（右）乘 $A$ 和 $B$，并且分别取行列式

16 复合形式矩阵逆矩阵的存在问题#

对于一个矩阵的和（如 $A+BC$），想要求解它的逆矩阵的存在问题，可以先写出

$$(A+BC)(A^{-1}-X)=I$$

然后经过一系列简化，得到

$$(C+D)X=E$$

然后再根据 $C,D,E$ 的形式将 X 改写为 $X=FYG$ 的形式，最后从而根据 $Y$ 的存在性给出 X 的形式

17 多项式行列式#

对于每个元素都是多项式的行列式问题

$$\begin{vmatrix}f_1(a_1)&f_2(a_1)&\cdots&f_n(a_1)\\f_1(a_2)&f_2(a_2)&\cdots&f_n(a_2)\\\vdots&\vdots&&\vdots\\f_1(a_n)&f_2(a_n)&\cdots&f_n(a_n)\end{vmatrix}$$

有两种常见的处理方法

1 方法一：多项式假设#

可以假设如下形式的多项式

$$F(x)=\begin{vmatrix}f_1(x)&f_2(x)&\cdots&f_n(x)\\f_1(a_2)&f_2(a_2)&\cdots&f_n(a_2)\\\vdots&\vdots&&\vdots\\f_1(a_n)&f_2(a_n)&\cdots&f_n(a_n)\end{vmatrix}.$$

• 显然，$F(x)$ 有根 $a_2,\cdots,a_n$
• 同时，$F(x)$ 可以看成是多项式 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$ 的线性组合

2 方法二：矩阵分解法#

• 对于 $n$ 次多项式 $f(x)$，可以写成 $f(x)=\sum_{i\operatorname{=}0}^{n}c_{ij}x^i$
• 利用矩阵乘法，可以进行如下分解

$$\left.\begin{pmatrix}f_1(a_1)&f_2(a_1)&\cdots&f_n(a_1)\\\vdots&\vdots&&\vdots\\f_1(a_n)&f_2(a_n)&\cdots&f_n(a_n)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&a_1&\cdots&a_1^{n}\\\\1&a_2&\cdots&a_2^{n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\1&a_n&\cdots&a_n^{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{01}&c_{02}&\cdots&c_{0n}\\\\c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\c_{n,1}&c_{n,2}&\cdots&c_{n,n}\end{pmatrix}\right.$$

18 对易子形式的等式（形如 $AB-BA=C$）#

• 对于含有对易子形式的等式，两边取迹可以得到 $Tr(C) = 0$
• 如果 $C$ 为二阶矩阵，则可以给出 $C$ 的形式

$$C= \begin{pmatrix} a&b\\c&-a \end{pmatrix}$$

• 此时，可以得到

$$C^2= \begin{pmatrix} a^2 + bc &\\&a^2+bc \end{pmatrix}$$

19 每行元素和为定值的矩阵#

• 若对于矩阵 $A$ 满足它的每一行元素之和为定值 $c$，则可以记成 $A\mathbf{1} = c\mathbf{1}$
• 对于 $A$ 进行幂乘运算，可以得到 $A^n\mathbf{1} = c^n\mathbf{1}$ 其中，$\mathbf{1}$ 表示的是 $n$ 维的元素全为 1 的列向量

20 伴随矩阵的性质#

1 行列式的性质#

$$|A^*| = |A|^{n-1},|(kA)^*| = k^{n-1}|A|^{n-1}$$

2 秩的性质#

$$\text{rank}A^*=\begin{cases}n,&\text{rank}A=n,\\1,&\text{rank}A=n-1,\\0,&\text{rank}A<n-1.\end{cases}$$

3 伴随矩阵的乘法性质#

$A^*$ 的元素之所以都是代数余子式是根据行列式按行（列）展开的性质得到的，其本质还是矩阵的乘法。因此，对于矩阵中元素都是代数余子式的矩阵，可以考虑利用矩阵乘法的性质。

21 幂等矩阵的秩#

1 幂等矩阵一定可以对角化#

2 幂等矩阵的秩和迹相等#

22 特征多项式证明技巧#

• 需要证明重数的写成 $|\lambda I - A|=0$ 的形式
  • 由此可以得出 $AB$ 和 $BA$ 拥有相同的非零特征值
• 需要证明特征向量的写成 $A\alpha = \lambda \alpha$

23 合同变换为标准二次型的技巧#

• 首先将 $\sum_{1\leq i \leq j\leq n} a_{ij}x_ix_j$ 利用技巧转换为 $a_{11}y_{11}^2+\sum_{2\leq i \leq j \leq n}a_{ij}x_ix_j$
• 然后利用归纳法继续证明

24 复数域上的矩阵证明问题#

尝试拼凑出 $\alpha$ 和共轭矩阵 $\overset-{\alpha}$ 的组合，利用 $\alpha'\overset-{\alpha}\neq0$ 的性质

25 二次型的大小估计#

$\begin{aligned}\lambda_n\leq\frac{\alpha'A\alpha}{|\alpha|^2}\leq\lambda_1\\where ~\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\lambda_n\end{aligned}$

26 斜对称矩阵的合同变换#

斜对称矩阵经过合同变换一定可以得到形如 $diag\{\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix},(0),\cdots,(0)\}$ 的分块对角矩阵

27 证明线性空间维数无限的思路#

• 运用反证法，假设维数有限，设维数为d
• 则对于空间中任意 d+1 个向量都线性相关
• 由此引出矛盾

28 多项式空间的三种基#

• 第一种：简单的指数形式
• 第二种：根据泰勒展开得到的形式
• 第三种：根据拉格朗日插值得到的形式：

29 空间的交、和、并关系#

证明空间关系，可以从空间中的任意向量入手，证明某一向量属于某空间后的结论。